힐베르트 변환

3. 정의

''u''(''t'')의 힐베르트 변환은 함수 ''h''(''t'') = 1/(π''t'')^영어와 ''u''(''t'')의 합성곱으로 생각할 수 있다. ''h''(''t'')는 적분할 수 없기 때문에, 합성곱을 정의하는 적분은 수렴하지 않는다. 대신, 코시 주요값(p.v.로 표시)을 사용하여 힐베르트 변환을 정의한다. 명시적으로, 함수 또는 신호 ''u''(''t'')의 힐베르트 변환은 다음과 같다.^[1]

:$H(u)(t)\; =\; \backslash text\{p.v.\}\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}u(\backslash tau)\; h(t-\backslash tau)\backslash ,\; d\backslash tau\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\; \backslash \; \backslash text\{p.v.\}\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{u(\backslash tau)\}\{t-\backslash tau\}\backslash ,\; d\backslash tau$

변수 변환을 통해 다음과 같이 쓸 수도 있다.^[2]

:$H(u)(t)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\backslash lim\_\{\backslash varepsilon\backslash rightarrow\; 0\}\backslash int\_\{\backslash varepsilon\}^\backslash infty\; \backslash frac\{u(t\; +\; \backslash tau)\; -\; u(t\; -\; \backslash tau)\}\{\backslash tau\}\backslash ,d\backslash tau.$

4. 푸리에 변환과의 관계

힐베르트 변환은 푸리에 변환 영역에서 곱셈 연산자로 작용한다. 즉, 신호의 힐베르트 변환은 해당 신호의 푸리에 변환에 -''i'' sgn(ω)를 곱한 것과 같다. 여기서 sgn(ω)은 부호 함수이다.

:$\backslash mathcal\{F\}(H(u))(\backslash omega)\; =\; (-i\backslash ,\backslash operatorname\{sgn\}(\backslash omega))\; \backslash cdot\; \backslash mathcal\{F\}(u)(\backslash omega)$

오일러 공식에 의해,

:$\backslash sigma\_H(\backslash omega)\; =\; \backslash begin\{cases\}$

i = e^{+\frac{i\pi}{2}}, & \mbox{for } \omega < 0\\

0, & \mbox{for } \omega = 0\\

• i = e^{-\frac{i\pi}{2}}, & \mbox{for } \omega > 0

5. 성질

힐베르트 변환은 인 $L^p(\backslash mathbb\{R\})$ 공간에서 유계 선형 연산자이다.^[8] 즉, 모든 $u\; \backslash in\; L^p(\backslash mathbb\{R\})$에 대해 다음 부등식을 만족하는 상수 $C\_p$가 존재한다.

:$$\backslash left\backslash |\backslash operatorname\{H\}u\backslash right\backslash |\_p\; \backslash le\; C\_p\; \backslash left\backslash |u\backslash right\backslash |\_p$$

이때 최적 상수 $C\_p$는 다음과 같이 주어진다.^[9]

:$$C\_p\; =\; \backslash begin\{cases\}$$

\tan \frac{\pi}{2p} & \text{for} ~ 1 < p \leq 2, \\[4pt]

\cot \frac{\pi}{2p} & \text{for} ~ 2 < p < \infty.

\end{cases}

주기적 힐베르트 변환에서도 동일한 최적 상수가 성립한다.

힐베르트 변환은 반 자기 수반 연산자^[10]이므로, 다음이 성립한다.

:$\backslash langle\; \backslash operatorname\{H\}\; u,\; v\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; u,\; -\backslash operatorname\{H\}\; v\; \backslash rangle$

또한, 힐베르트 변환은 반대합이므로, 힐베르트 변환을 두 번 적용하면 원래 함수의 부호가 반전된다.

:$\backslash operatorname\{H\}\backslash bigl(\backslash operatorname\{H\}\backslash left(u\backslash right)\backslash bigr)\; =\; -u$

이는 힐베르트 변환이 가역적이며, 다음 관계가 성립함을 의미한다.

:$\backslash operatorname\{H\}^\{-1\}\; =\; -\backslash operatorname\{H\}$

실수 바나흐 공간에서 힐베르트 변환은 선형 복소 구조를 정의한다. 특히, 일 때 힐베르트 변환은 $L^2(\backslash mathbb\{R\})$의 실수 값 함수로 구성된 힐베르트 공간에 복소수 힐베르트 공간의 구조를 부여한다.

힐베르트 변환의 도함수는 도함수의 힐베르트 변환과 같다. 즉, 다음이 성립한다.

:$\backslash operatorname\{H\}\backslash left(\backslash frac\{\; \backslash mathrm\{d\}u\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}\backslash operatorname\{H\}(u)$

이를 반복하면, 다음 관계를 얻는다.

:$\backslash operatorname\{H\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^ku\}\{\backslash mathrm\{d\}t^k\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^k\}\{\backslash mathrm\{d\}t^k\}\backslash operatorname\{H\}(u)$

힐베르트 변환은 형식적으로 다음과 같이 convolution^영어으로 표현될 수 있다.

:$\backslash operatorname\{H\}(u)\; =\; h*u$

여기서 이다. 대부분의 경우 힐베르트 변환은 합성곱으로 취급될 수 있다. 예를 들어, 다음이 성립한다.

:$\backslash operatorname\{H\}(u*v)\; =\; \backslash operatorname\{H\}(u)*v\; =\; u*\backslash operatorname\{H\}(v)$

힐베르트 변환은 변환, 양수 팽창과 교환하며, 반사와는 반교환한다.

5. 1. 이산 힐베르트 변환

• FIR 필터를 이용하는 방법: $h[n]$을 직접 계산하는 대신, '''그림 1'''에서처럼 FIR 필터로 근사하여 사용한다. 이 경우, 낮은 주파수와 높은 주파수(나이퀴스트 주파수)에서 통과 대역이 0으로 떨어지는 밴드 패스 필터 형태가 된다. '''그림 2'''처럼 고역 통과 필터를 사용하면, 높은 주파수 응답을 부드럽게 만들 수 있다. 하지만, 실제로는 $u[n]$ 신호가 해당 주파수 대역에서 사용 가능한 주파수를 가지고 있지 않기 때문에, 임펄스 응답을 더 길게 만들어 낮은 주파수도 처리할 수 있도록 한다.^[42]

• DFT를 이용하는 방법: overlap-save method와 같은 방법을 사용하여 긴 $u[n]$ 데이터에 대해 효율적으로 합성곱을 수행할 수 있다. FFT{$h[n]$} 대신 $\backslash sigma\_H(\backslash omega)$의 샘플을 사용하면, 주기적 합($h\_N[n]$)을 합성곱하는 효과를 얻을 수 있다. '''그림 3'''은 $h\_N[n]$과 $h[n]$을 비교한 것이다. 세그먼트 길이(''N'')를 늘리고 중첩 파라미터를 조정하여 왜곡을 줄일 수 있다.

6. 응용

힐베르트 변환은 다양한 신호 처리 분야에서 응용된다.

• '''해석적 신호 표현:''' 힐베르트 변환은 실수 신호로부터 해석적 신호를 생성하는 데 사용된다. 해석적 신호는 신호의 진폭과 위상 정보를 분리하여 분석하는 데 유용하다.
• '''단측파대 변조 (SSB):''' 힐베르트 변환은 단측파대 변조 방식에서 중요한 역할을 한다.^[17][18]
• '''각 변조:''' 힐베르트 변환은 각 변조된 신호의 순시 주파수 및 위상을 추정하는 데 사용될 수 있다.^[16]
• '''베드로시안 정리:''' 이 정리에 따르면, 겹치지 않는 스펙트럼을 갖는 저역 통과 신호와 고역 통과 신호의 곱에 대한 힐베르트 변환은 각 신호의 힐베르트 변환의 곱으로 주어진다.^[15]

7. 확장

힐베르트 변환은 다음과 같은 분포 공간으로 확장될 수 있다.

• 분포 공간에서의 힐베르트 변환: 힐베르트 변환은 미분과 교환 가능하며, $L^p$에서 유계 연산자이므로, 소볼레 공간의 역극한에 대한 연속 변환을 제공한다. 이를 통해 $\backslash mathcal\{D\}\_\{L^p\}\text{'}$ 분포로 구성된 공간에서 힐베르트 변환을 정의할 수 있다.^[1]

• 유계 평균 진동 함수 (BMO) 공간에서의 힐베르트 변환: $L^\backslash infty\; (\backslash mathbb\{R\})$ 함수에 대한 힐베르트 변환은 유계 평균 진동(BMO) 클래스로 매핑된다. 이 변환은 정칙화된 형태로 정의되며, 컴팩트한 지지 집합을 가진 함수에 대해 원래 변환과 덧셈 상수까지 일치한다.^[12]

• 원형 힐베르트 변환: 주기 함수에 대한 힐베르트 변환은 다음과 같이 정의된다.

• 수론적 힐베르트 변환: 이산 힐베르트 변환은 수론적 변환으로 확장될 수 있다. 이는 이산 푸리에 변환을 수론적 변환으로 일반화하는 것을 따르며, 직교 이산 수열 집합을 생성하는 데 사용될 수 있다.

8. 특정 함수의 힐베르트 변환 (표)

참조

_[1] 참고문헌
_[2] 참고문헌
_[3] 참고문헌
_[4] 참고문헌
_[5] 참고문헌
_[6] 인용
_[7] 설명
_[8] 참고문헌
_[9] 참고문헌
_[10] 참고문헌
_[11] 참고문헌
_[12] 참고문헌
_[13] 참고문헌
_[14] 참고문헌
_[15] 참고문헌
_[16] 참고문헌
_[17] 참고문헌
_[18] 참고문헌
_[19] 참고문헌
_[20] 참고문헌
_[21] 참고문헌
_[22] 참고문헌
_[23] 참고문헌
_[24] 참고문헌
_[25] 참고문헌
_[26] 참고문헌
_[27] 참고문헌
_[28] 참고문헌
_[29] 참고문헌
_[30] 참고문헌
_[31] 참고문헌
_[32] 참고문헌
_[33] 참고문헌
_[34] 웹사이트 hilbert – Discrete-time analytic signal using Hilbert transform http://www.mathworks[...] 2021-05-06
_[35] 참고문헌
_[36] 서적 Stein Weiss 1971
_[37] 서적 Bracewell 2000
_[38] 서적 Bracewell 2018-09
_[39] 문서 sin cos의 힐베르트 변환
_[40] 서적 Brace Well
_[41] 문서 sin과 cos 함수의 힐버트 변환
_[42] 서적 Grafakos 1994
_[42] 서적 Titchmarsh 1926
_[42] 서적 Hardy Littlewood Polya 1952